- Introduction
P≠NP予想は「論理式の充足可能性(SAT)と呼ばれる問題を解く決定性チューリング機械上で実行される多項式時間アルゴリズムは存在しない」という予想ですが, よく知られる通りこの予想を仮定すると巡回セールスマン問題だとかグラフの最大クリークといった問題が多項式時間で解くことが出来ないということが導出できます.
一方で (P≠NPの下で) 多項式時間で出来ないからといってそこで研究が終わるわけではありません. 例えばグラフの最大独立点集合を求める問題はNP-困難ですが$O(1.2278^n)$ 時間で解くことが出来ますし, ハミルトン閉路の検出は$O(1.63^n)$時間のモンテカルロ乱択アルゴリズムが知られています. つまり「多項式時間で（多分）解けない」から発展し「具体的にはどれくらいの時間で解けるのか」というトピックの研究が近年盛んに行われており, fine-grained complexityなどと呼ばれています. fine-grainedとは「細かな」というような意味合いです.
もちろん, NP-困難な問題に対する
・近似アルゴリズムやその限界. 例えばPCP定理、Unique games conjectureなど.
・特殊なタイプのグラフに対する高速なアルゴリズム. 例えばFPT (fixed parameter tractability)アルゴリズムやW-階層.
といった方向性の研究も盛んです.
また一方で多項式時間で解けるからといってそこでも研究が終わるわけではありません. 多項式時間で解ける問題をより高速に解こうとする方向性の研究もまた盛んに行われています. 最たる例は行列積で, 素朴に計算すると$O(n^3)$時間かかりますが2018年7月現在最速のアルゴリズムは$O(n^{2.3728639})$時間 [François 2014] です (ちなみにそれ以前の最速アルゴリズムは$O(n^{2.3728642})$時間 [Vassilevska Williams 2011] なのでかなり接戦です). 計算モデルによって計算時間が変わってきますが, 本記事では計算モデルとして$O(\log n)$ bit word RAM モデルを考えます.
今回紹介するのは多項式時間で解ける問題（クラスP）における困難性を追求する研究で,「Hardness in P」と言います. たまに「fine-grained complexity」とも言ったりしますが, クラスPの問題を扱うときはHardness in Pと言うような気がします (厳密に言うとクラスPは判定問題のクラスですが「Hardness in P」という名称はその点には少し目を瞑っているような気がしますし特に混乱も起きないと思うので本記事もそれに倣います). 冒頭で述べたように, 時間計算量の下界を示すようなテクニックはほぼ知られていないため, P≠NP予想といった何かしらの予想を仮定してその下で様々な問題の計算量の下界を導出するといった流れをHardness in Pでもとっています.
ではHardness in Pではどのような予想を仮定するのでしょうか. 結論から言うとたくさんあり, 主にAPSP予想, 3SUM予想, SETHの三つが仮定されることが多いのですが(下図), 本記事ではSETHに焦点を絞って紹介していきたいと思います (APSP予想は以前の記事でちらっと触れています).
- SETH (Strong Exponential Time Hypothesis)
SETHは日本語では強指数時間仮説と呼ばれているそうです. HypothesisとついていますがConjectureだと捉えた方が理解しやすいと考えているので「予想」として扱います（なんでHypothesisなのかはよく分かりません. 信じるか信じないかで使い分けているのでしょうかね). 簡単に言うとSETHは「SATは$O((2-\epsilon)^n)$時間で解けない」という予想です. k-SATはそれぞれの節が高々k個のリテラルからなるCNFで記述された論理式の充足可能性を判定する問題です. 変数の個数を$n$、節の個数を$m$で表します。節の組み合わせから, $m\leq O((2n)^k)$が言えます. 2-SATは多項式時間で解けますが3-SATはNP-完全であることが知られており, 素朴に解くと$O(2^n\cdot m)$時間かかります. 実は3-SATは$O(1.308^n)$時間乱択アルゴリズムが知られており[Hertli, 2014], 決定性アルゴリズムに限るとk-SATは$2^{\left(1-\frac{1.44}{k}\right)n}$時間で解けることが知られています [Moser and Scheder, 2011]. つまり$k\to\infty$とするとその計算時間は漸近的に$2^n$となるわけです. これが$1.99^n$に改善できない, がSETHの主張です。
予想 (SETH) [Impagliazzo, Paturi and Zane, 2001]
任意の$\epsilon>0$に対してある$k>0$が存在してk-SATは$O((2-\epsilon)^n)$時間で解けない.
細かい話をするとこれは「アルゴリズムの列」が存在しないと言っています. SETHの否定は「アルゴリズム列$(\mathcal{A}_k)_{k\in\mathbb{N}}$が存在して各$\mathcal{A}_k$はk-SATを$O((2-\epsilon)^n)$時間で解く, というような$\epsilon>0$が存在する」となります. 自分は以前, SETHをパラメタ化計算量の文脈で解釈しようとし「$k$でパラメタライズされたときにk-SATは$f(k)\cdot (2-\epsilon)^n$時間で解くようなアルゴリズムは存在しない」と誤解していたのですが, これはSETHよりも弱い命題（これはSETHから導出できる)です. またこの二つの主張が等価かどうかもわかっていないと認識しています.
SETHを仮定するとOrthogonal Vectors Conjecture (OVC)と呼ばれる予想が導出され, 実はOVCがHardness in Pにおいて起点となる予想として頻繁に用いられます (ですがSETHの方が著名なので論文のタイトルにはOVCではなくSETHが用いられることが多いような気がします).
- Orthogonal Vectors Conjecture
OVCは強いて和訳するなら「直交ベクトル予想」でしょうか. 次の判定問題を考えます.
問題 (Orhogonal Vectors, 直交ベクトル検出問題)
入力：$A,B$: それぞれ$d$次元$01$ベクトルの集合で$|A|=|B|=n$.
出力：ある$a\in A,\,b\in B$が存在して$\sum_{i=1}^d a_ib_i=0$ならばYes. そうでないならばNo.
Orthogonal Vectorsに対応する和訳が (私の知る限り) ないので, 直交ベクトル検出問題と便宜上呼ぶことにします. この問題は素朴に解くと$O(dn^2)$時間かかりますが, 実は$O(n^{2-1/O(\log(d/\log n))})$時間で解くことが出来ます [Abboud, Williams, and Yu 2015]. $d=k\log n$とするとこれは$O(n^{2-1/O(\log(k))})$時間なので, $k\to\infty$とすると漸近的に$O(n^2)$時間となります. これが$O(n^{2-\epsilon})$時間に改善出来ないというのがOrthogonal Vectors Conjecture (OVC)です.
予想 (OVC)
任意の$\epsilon>0$に対してある$k>0$が存在して$d=k\log n$に対する直交ベクトル検出問題は$O(n^{2-\epsilon})$時間で解けない. つまり、$d=\omega(\log n)$ならばOrthogonal Vectorsは$\Omega(n^{2-o(1)})$時間を要する.
繰り返しになりますが, 計算モデルは$O(\log n)$ bit word RAM モデルです. また, SETHの箇所で説明したようにこの予想でも「アルゴリズム列」の存在性を否定しています.
次の定理が知られています.
定理1 [Williams, 2005]
SETHを仮定するとOVCは真. 対偶をとると, 次元$d=k\log n$の直交ベクトル検出問題を$O(n^{2-\epsilon})$時間で解くアルゴリズム列$(\mathcal{A}_k)$が存在するならば, k-SATは$O((2-\epsilon')^n)$時間で解ける ($\epsilon'>0$は$\epsilon$に依存する定数).
定理1は Sparsification lemma+賢い帰着 によって示すことができます。
定理2 (Sparsification lemma) [Impagliazzo, Paturi and Zane, 2001]
$n$変数$m$節を持つk-SATのインスタンス$\phi$が与えられたとき, 以下の条件を満たすような論理式の集合$\phi_1,\ldots,\phi_l$を出力する$O(2^{\epsilon n})$時間アルゴリズムが存在する ($\epsilon>0$は任意の定数).
- 各$\phi_i$は$n$変数のk-SATで, 節数は高々$K_\epsilon n$となる ($K_\epsilon$は定数).
- $\phi$が充足可能 iff ある$i$が存在して$\phi_i$は充足可能.
- $l\leq 2^{\epsilon n}$.
Sparsification lemmaを用いるとSETHを考える上ではk-SATのインスタンス$\phi$の節数$m$は$O(n)$であるとして良いことになります. Spaisification lemmaがどのようにして定理1の証明に用いられるかを説明しましょう.
定理1において, Orthogonal Vectorsが$O(n^{2-\epsilon})$時間で解けたと仮定し, 何らかの$\epsilon'>0$に対しk-SATを$O((2-\epsilon')^n)$時間で解くことを目標としましょう. 適当に$\delta=\delta(\epsilon)>0$を$\epsilon$に依存するものすごく小さい定数と設定します (後で定められます). k-SATのインスタンス$\phi$をSparsification lemmaによって$\phi_1,\ldots,\phi_l$に分解し ($l\leq 2^{\delta n}$), 各$\phi_i$を解くことを考えます. それぞれの$\phi_i$は高々$K_\delta n$個の節を持っています.
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| 図1: 節数$m=O(n)$なるk-SATを直交ベクトル検出問題に帰着している. |
ここで$n$個ある変数を半分ずつ二つのグループに分け, それぞれのグループについて$2^{n/2}$通りの（部分）割り当てを列挙します. 列挙された部分割り当て一つ一つが$d=m\leq K_\delta n$次元ベクトル$\in\{0,1\}^m$をなし直交ベクトル検出問題のインススタンスを形成します. 節$i$が部分割り当てによってtrueになるならば, その節に対応する成分が1にします (図1参照). それぞれのグループに対してこの手続きによってベクトルの集合を生成し, それら二つの集合を$A,B$として直交ベクトル検出問題のインスタンスとします. すると, このインスタンスがYesインスタンス(i.e., 直交ベクトルを持つ)であることと論理式$\phi_i$が充足可能であることが同値であることが簡単に分かります. これは各節はリテラルのorによって結合されたものであるため, 節iが充足されていることと対応する二つの部分割当の少なくとも一方が節iを充足する(i.e., ベクトルの第i成分=0)が等価になるからです. さて, $N=|A|=2^{n/2}$とおきます. ベクトルの次元は$m\leq K_\delta n=O(\log N)$となります. 最初の仮定よりこのインスタンスは$O(N^{2-\epsilon})=O(2^{(1-\epsilon/2)n})$時間で解けます. したがって全体の計算量は
$O(2^{\delta n}\cdot 2^{(1-\epsilon/2)n})=2^{(1-\epsilon/2+\delta)n}$
となり, 適切に$\delta>0$を設定してやると所望の結果が示せます. Sparsification lemmaは節の個数が変数の個数$n$に対して線形にできるという部分が強力ですし, SETHがETHを導出するという命題の証明にも使われます. ちなみにSparsification lemmaの証明には組合せ論におけるsunflower lemmaという命題を用いていて、例えばこちらに分かりやすく載っていますが, 個人的には結構面白いと思います.
ここからはOVCの下で様々な問題の計算量下界を見ていきます.
直径$3$以下であることが約束されたグラフ$G=(V,E)$が与えられたときにその直径が2か3かを判定する問題を考えます. 直径とは最長の最短経路長として定義され, ここでは辺重みは全て1とします. グラフの頂点数を$n$, 辺数を$m$としたときに（OVCの下で）この判定問題が$O(m^{2-\epsilon})$時間で解けないことが知られています [Roditty and Vassilevska Williams, 2013]. 特にこの結果はグラフの直径の$1.499$-近似が$O(m^{1.999})$時間で計算できないことを意味します.
定理3 [Roditty and Vassilevska Williams, 2013]
与えられたグラフの直径が2か3かどうかを$O(m^{2-\epsilon})$時間で判定出来るならば, OVCは偽である.
注意されたいのは, この定理は密なグラフの直径の計算量については何も言っていません. 実際, 以前の記事で紹介したようにどんなグラフでもその直径は$O(n^\omega \log n)=O(n^{2.373})$時間で計算することが出来るからです.
これを証明したいと思います. 直交ベクトル探索のインスタンス$(A,B)$から次の性質を満たすグラフ$G$を構成することを考えます.
性質: $(A,B)$がYesインスタンスであるならば$G$の直径は3, そうでなければ$G$の直径は2.
図2のようなグラフ$G$を構成します. $G$の頂点集合は$A,B,[d]=\{1,\ldots,d\},u,v$からなり, ベクトル$a$の第$i$成分が1ならば辺$\{a,i\}$を貼り, $B$についても同様に辺を貼ります. $[d]\cup\{u,v\}$の部分は全頂点ペアに辺を貼ってクリークにし, $A$-$u$間と$B$-$v$間も同様に全ペアに辺を貼ります. すると$G$の直径3以上であることと$(A,B)$が直交ベクトルを持つことが同値であることが分かります (直交していなければ, $\{a,i\},\{b,i\}\in E(G)$なるインデックス$i$が存在して距離2になる).
直径2と3の区別が$O(m^{2-\epsilon})$時間で出来るとしましょう. 直交ベクトル検出問題のインスタンス$(A,B)$から上のようにしてグラフ$G$を構成します (これは$O(nd)$時間でできます). このとき$m=O(nd)=O(n\log n)$なので, $O(m^{2-\epsilon})=O(n^{2-\epsilon+o(1)})$時間で直交ベクトル検出問題が解けることになり, これはOVCに矛盾します.
また, 図2のグラフの木幅は$d+2=O(\log n)$であることに注目すると, 次の結果も示されたことになります.
定理4 [Abboud, Vassilevska Williams and Wang, 2016]
木幅$k$のグラフの直径の$1.499$近似を $2^{o(k)}\cdot n^{2-\epsilon}$時間で計算できるならば, OVCは偽.
証明: $2^{o(k)}n^{2-\epsilon}=n^{2-\epsilon+o(1)}$より明らか.
ちなみに木幅$k$のグラフの直径は(辺に重みがあっても)$2^{O(k\log k)}n^{1+o(1)}$時間で計算できることが[Abboud, Vassilevska Williams and Wang, 2016]において知られており, $2^{O(k)}n^{2-\epsilon}$時間で出来るか否かはこの2年間未解決でしたが, 今年解決されました (この論文は2018年8月開催予定のIPECという国際会議に採択されています. arXivを読む限り, 内容は正しそうだと私は思っています).
- 直径 2 vs. 3
直径$3$以下であることが約束されたグラフ$G=(V,E)$が与えられたときにその直径が2か3かを判定する問題を考えます. 直径とは最長の最短経路長として定義され, ここでは辺重みは全て1とします. グラフの頂点数を$n$, 辺数を$m$としたときに（OVCの下で）この判定問題が$O(m^{2-\epsilon})$時間で解けないことが知られています [Roditty and Vassilevska Williams, 2013]. 特にこの結果はグラフの直径の$1.499$-近似が$O(m^{1.999})$時間で計算できないことを意味します.
定理3 [Roditty and Vassilevska Williams, 2013]
与えられたグラフの直径が2か3かどうかを$O(m^{2-\epsilon})$時間で判定出来るならば, OVCは偽である.
注意されたいのは, この定理は密なグラフの直径の計算量については何も言っていません. 実際, 以前の記事で紹介したようにどんなグラフでもその直径は$O(n^\omega \log n)=O(n^{2.373})$時間で計算することが出来るからです.
これを証明したいと思います. 直交ベクトル探索のインスタンス$(A,B)$から次の性質を満たすグラフ$G$を構成することを考えます.
性質: $(A,B)$がYesインスタンスであるならば$G$の直径は3, そうでなければ$G$の直径は2.
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| 図2: ベクトル$a\in A,\,b\in B$が直交するならば$a,b$間の最短経路長は3. |
図2のようなグラフ$G$を構成します. $G$の頂点集合は$A,B,[d]=\{1,\ldots,d\},u,v$からなり, ベクトル$a$の第$i$成分が1ならば辺$\{a,i\}$を貼り, $B$についても同様に辺を貼ります. $[d]\cup\{u,v\}$の部分は全頂点ペアに辺を貼ってクリークにし, $A$-$u$間と$B$-$v$間も同様に全ペアに辺を貼ります. すると$G$の直径3以上であることと$(A,B)$が直交ベクトルを持つことが同値であることが分かります (直交していなければ, $\{a,i\},\{b,i\}\in E(G)$なるインデックス$i$が存在して距離2になる).
直径2と3の区別が$O(m^{2-\epsilon})$時間で出来るとしましょう. 直交ベクトル検出問題のインスタンス$(A,B)$から上のようにしてグラフ$G$を構成します (これは$O(nd)$時間でできます). このとき$m=O(nd)=O(n\log n)$なので, $O(m^{2-\epsilon})=O(n^{2-\epsilon+o(1)})$時間で直交ベクトル検出問題が解けることになり, これはOVCに矛盾します.
また, 図2のグラフの木幅は$d+2=O(\log n)$であることに注目すると, 次の結果も示されたことになります.
定理4 [Abboud, Vassilevska Williams and Wang, 2016]
木幅$k$のグラフの直径の$1.499$近似を $2^{o(k)}\cdot n^{2-\epsilon}$時間で計算できるならば, OVCは偽.
証明: $2^{o(k)}n^{2-\epsilon}=n^{2-\epsilon+o(1)}$より明らか.
ちなみに木幅$k$のグラフの直径は(辺に重みがあっても)$2^{O(k\log k)}n^{1+o(1)}$時間で計算できることが[Abboud, Vassilevska Williams and Wang, 2016]において知られており, $2^{O(k)}n^{2-\epsilon}$時間で出来るか否かはこの2年間未解決でしたが, 今年解決されました (この論文は2018年8月開催予定のIPECという国際会議に採択されています. arXivを読む限り, 内容は正しそうだと私は思っています).
- その他の問題
直径の他にも様々な問題に対してSETHの下での時間計算量下界が示されています. 例を挙げると
- 疎グラフの平均距離 (平均距離が計算できれば直径2と3を区別できる).
- 長さ$n$の二つの文字列の編集距離は$\Omega(n^{2-o(1)})$時間かかる [Backurs, Indyk, 2014], 最長共通部分列(LCS)も$\Omega(n^{2-o(1)})$時間かかる [Bringmann, Künnemann, 2015], [Abboud, Backurs, Vassilevska Williams, 2015].
- 直径5と直径8の区別は$\Omega(n^{1.5-o(1)})$時間かかる [Backurs, Roditty, Segal, Vassilevska Williams, Wein, 2018].
- そもそもSETHは正しいのか？
強い予想を仮定すると色々と面白いことが言えるというのはそもそも当たり前です. そもそも第一にそもそも仮定する予想が本当に正しいのかどうかに関しては議論の余地が大いにあります. 例えば行列積は昔は$O(n^{2.999})$時間で解けないと思われていましたが, 実際は (環上で) $O(n^{2.373})$時間で計算できます. しかしSETHが偽ならば回路計算量で強い下界が成り立つという結果も知られています [Williams, 2013]. もちろん, 仮定している予想が本当に正しいかどうかという問題意識はfine-grained complexityをやっている研究者にもありますし, もっと弱い仮定の下でいろんなことを導出するような論文もあります.
また, 予想がたくさん出てきている, 悪く言えば乱立しているのも実情です. パッと思い浮かぶだけでも
- SETH
- APSP予想 (APSP: All-Pairs Shortest Paths)
- 3SUM予想
- Gap-ETH
- Clique conjecture (サイズ$k$のクリークが$O(n^{k\omega/3-\epsilon})$時間で検出できないという予想. $\omega<2.373$は行列積の指数)
などがあり, ここ1,2年のSODA論文でもこのような予想の下での困難性の結果に関する論文がたくさん出てきています. しかも, 上に挙げた予想に対し「予想Aを仮定すると予想Bは真である」といった結果は一切知られていません.
そもそも計算複雑性理論においては仮定なしで下界を示すような結果は本当に少なく, average case complexityの分野におけるplanted clique conjecture, 近似アルゴリズムにおけるunique games conjectureといった全く上記とは別の予想の下での困難性の結果がたくさん研究されているので, fine-grained complexityだけの問題点ではなく, 今に始まった議論ではありません. しかしSETHが真だとしても偽だとしても様々な計算量下界が導出されるので, とても面白いと思います.
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