3SUMのLinear Decision Tree Complexity

Linear Decision Treeと呼ばれる計算モデルについて解説します.

1. 決定木 (Decision Tree)

「ソートアルゴリズムは$\Omega(n\log n)$時間かかる」という話をよく聞くと思いますが, これは「ソートアルゴリズムは2要素の比較を$\Omega(n\log n)$回しなければならない」ことを意味します. 具体的には各ノードに「$a_i\leq a_j$?」と書かれた二分木があり, YESならば右の子ノード, NOならば左の子ノードに辿っていき葉に至ったらそこで終了しそこに書かれているラベル (例えば「$a_3\leq a_1 \leq a_2 \leq a_4$」のような要素の順位が書かれている)を出力するという計算モデルを考えています. このように二分木にYES/NOの質問が書かれており, その答えに対応する子ノードを辿っていき葉に至ったら終了するという計算モデルを決定木 (decision tree) といいます.

例えば上記の決定木では, どんな入力が与えられても質問に3回答えれば葉に至ります. このように. 決定木の効率性は主にその深さによって測ります (もちろん全体のノード数が小さい方が良いですが). ここで, 深さ$D$の決定木の葉の個数は$2^D$くらいです. つまり深さ$D$の決定木は高々$2^D$通りの出力しか区別することができないので, 出力しうるラベルの種類が$N$であるような問題を考えるとその問題を解く決定木の深さは$\lceil\log_2 N\rceil$必要であるという情報論的な下界が得られます. 例えば$n$要素のソートでは$n!= 2^{\Theta(n\log_2 n)}$通りのラベルを区別しなければならないため深さは$D=\Omega(n\log n)$となります. ある問題に対してその問題を解く決定木の深さの最小値を決定木複雑性 (decision tree complexity) といいます. ソートの決定木複雑性は$\Omega(n\log n)$ですが, 実際にマージソートなどは高々$O(n\log n)$回の数値比較でソートをするので, この下界は定数倍を除いてタイトとなります.

決定木の深さはちょうどクエリに回答する回数に対応するため, 計算時間に対応していると解釈できるわけです.

2. 線形決定木

一般に決定木のノードに書かれるラベルはどんな質問でも構いません. 極端な例で言うとノードのラベルにSATのインスタンスが書いてあってそれがYESインスタンスならば左の子に, そうでなければ右の子に辿るようなものを考えてもよいです. しかしながらそれでもなおソートの決定木複雑性は$\Omega(n\log n)$になります.

決定木のノードラベルの質問を線形不等式「$c_1a_1+c_2a_2+\dots+c_na_n\geq 0?$」の形に制限したものを線形決定木 (linear decision tree) といいます. ここで$a_1,\dots,a_n$は入力, $c_1,\dots,c_n$は適当な定数とします. また, 全てのノードのラベルにおける係数に含まれる非ゼロ要素が高々$k$個であるとき, 特に$k$-線形決定木 ($k$-LDT) といいます. 例えばソートの二要素の比較は$a_i-a_j\geq 0$と書き換えることができるので2-LDTとなります.

幾何的な解釈としては, 入力全体の空間を超平面で分割 (線形不等式クエリに対するYES/NOの応答に対応)していき「ラベル1を出力すべき入力の全体」「ラベル2を出力すべき入力の全体」...を区別していくことになります.

3. 決定木とアルゴリズムの違い: uniform vs nonuniform

一つの決定木は固定サイズの問題しか解くことができません. 従って決定木を使って問題を解く場合は決定木の族$(\mathcal{T}_n)_{n\in\mathbb{N}}$を考えます. 問題Pのサイズ$n$の任意の入力$x$に対し, $x$の答えを$\mathcal{T}_n$を使って計算できる時に$(\mathcal{T}_n)$は問題Pを解くといいます. つまり, 与えられる問題のサイズに応じて異なる決定木を使って良いということになります. 

一方でアルゴリズムを使って問題を解く時は入力サイズがどのような場合であっても必ず同一のアルゴリズムを使わなければなりません. このように, 決定木とアルゴリズム(正確にはチューリングマシン)の間には問題サイズによって異なるものを使って良いかどうかという重要な違いがあります. 決定木のように問題サイズごとに異なるものを使う計算モデルをnonuniform, チューリングマシンのようにどのような問題サイズであっても同じものを使う計算モデルをuniformといいます.

UniformとNonuniformな計算モデルのギャップは未解決な部分が多いですが, 少なくともギャップが存在することが分かっています. 具体的にはnonuniformな計算モデルを使うと停止性判定問題を解くことができます (以前の記事参照). ちなみにnonuniformな計算モデルの計算量として最もよく研究されているのは(私の主観ですが)回路計算量だと思います.

今回の記事では線形計算機とアルゴリズムのギャップを, 3SUMという問題に焦点を当てて見ていきます.

4. 3SUMのLDT複雑性

3SUMという問題は

$n$個の数字$A=\{a_1,\dots,a_n\}\in\mathbb{R}$が与えられた時に$a_i+a_j+a_k=0$となる$i,j,k$が存在するか?

を判定する問題です. $a_i+a_j$を格納したサイズ$n^2$の配列Xを用意してこれをソートした後, 各$a_k$に対して$X$が$-a_k$を含むかどうかを二分探索でチェックすれば$O(n^2\log n)$時間で解くことができます. また, 前回の記事で紹介したように$O(n^2)$時間アルゴリズムも存在します. しかしながら任意の定数$\epsilon>0$に対し$O(n^{2-\epsilon})$時間アルゴリズムが存在するかどうかは未解決で, 精緻な計算量 (fine-grained complexity)の分野では$n^{2-o(1)}$時間かかると予想されています. とりあえず詳しくない人は「3SUMを$n^{1.99999}$時間で解くアルゴリズムは知られていない」と思っておけば大丈夫です.

本記事では3SUMのLDT複雑性に関する以下の驚くべき結果の証明(概略)を説明します.

定理1 ([1])

3SUMを解く深さ$O(n^{1.5}\log n)$の4-LDTが存在する.

実は3SUMを解く任意の3-LDTは深さが$\Omega(n^2)$あることが知られていたため[2], 4-LDTにすると一気に深さが減らせるというのはLDT界隈の人にとっては驚くべき事実だったことは想像に難くありません. 何よりも「3SUMは$O(n^{1.5}\log n)$回の要素の比較で解ける」ということになるわけです.

しかし定理1の証明はかなり単純かつ非常に賢いアイデアに基づいています. 定理1の4-LDTは以下のステップからなります.

ステップ1. 入力$A=\{a_1,\dots,a_n\}$を昇順にソートする.

ステップ2. $A$の各要素を連続した$\sqrt{n}$個ずつに分割してそれらを$A_1,\dots,A_{\sqrt{n}}$とする.

ステップ3. $L:=\cup_{i\in[\sqrt{n}]}\{x-y\colon x,y\in A_i\}$をソートする.

ステップ4. 以下のしゃくとり法っぽい計算を行う. ただし文中に出てくる$A_{st}$は$A_{st}:= \{x+y\colon x\in A_s,y\in A_t\}$とする.

for a in A:

    $s \leftarrow 0$

    $t \leftarrow \sqrt{n}$

    while $s\leq t$:

        if $-a\in A_{st}$ then:                            (1)

            return True

        elif $-a > \max(A_s)+\min(A_t)$:            (2)

            $s\leftarrow s+1$

        else:                                                     (3)

            $t\leftarrow t-1$

return False

正当性 (イメージ).

(1)において$-a\in A_{st}$となるならば, ある$b\in A_s,c\in A_t$に対して$-a=b+c$, すなわち$a+b+c=0$となるので, 確かにYESインスタンスとなります. 逆に, 入力がYESインスタンスであるとします. このときwhile文以下のループ処理は以下のような幾何的な解釈ができます:

入力$A=\{a_1,\dots,a_n\}$に対し, 点集合$P=\{(a_i,a_j):a_i,a_j\in A\}$を$xy$平面にプロットする. 各$a\in A$に対して直線$x+y=-a$上に乗っているような$P$の点の有無を判定していきます. ここで, $\mathbb{R}^2$を図のよう長方形で区切っていき, 各グリッドが$P$の点を$n$個ずつ含むようにします (実際には図のようなグリッドにはならないとは思いますが, 説明の簡単のためグリッドで区切っています). すると, while文の最初の時点では$s=0,t=\sqrt{n}$で点$(b,c)\in A_s\times A_t$に着目するわけですが, これは最も左上にある長方形に着目することに対応します. (1)では着目している短形内に直線上の点があるかどうかを判定しています. (2)と(3)では短形内の右下にある点に着目し, この点と直線の位置関係によって右隣か下の短形どちらに進むべきかを判断しています.

3SUMのLDTのしゃくとり法のイメージ (右の吹き出しの$\sqrt{n}$はタイポで正しくは$n$です)

深さの解析.

- ステップ1はマージソートをそのまま実装すれば良く, 深さ$O(n\log n)$の2-LDTで実装できます.

- ステップ2は分割しただけです.

- ステップ3はステップ1と同様にソートするだけです. $L$の要素数は$n^{1.5}$なので, 深さは$O(n^{1.5}\log n)$となります. また, $L$の各要素は$a_i-a_j$の形で書けるため, 4-LDTとなります.

- ステップ4では, while文が$s\leq t$である限り続けますが1回の反復で$t-s$は1ずつ減少するため, 高々$\sqrt{n}$回の反復で終了します. 各反復では(1)の処理がボトルネックになります. もし各$A_{st}$があらかじめソートしてあるならば二分探索ができるので(1)は$O(\log n)$時間で行うことができます. しかしながら全ての$A_{st}$をソートしようとすると, $0\leq s\leq t\leq \sqrt{n}$に対し各$A_{st}$は要素数$n$を持つため, $O(n^2\log n)$時間または同程度の深さのLDTが必要になってしまいます.

ここで, ステップ3で$L$をソートしているという事実に着目しましょう. $L$の全ての要素の大小を比較しているため, 各$i,j$と$a_i,a'_i\in A_i$, $a_j,a'_j\in A_j$に対し

$$a_i-a'_i \leq a_j-a'_j$$

またはその逆方向の不等式どちらが成り立つかが分かっています. これを移項すると

$$a_i+a'_j \leq a'_i+a_j$$

となりますが, この両辺はともに$A_{ij}$の要素です. これら4つの要素は任意にとって良かったので, 

$L$の大小関係の情報が確定すれば各$A_{ij}$の全ての2要素の大小関係の情報は必ず確定します.

決定木でステップ1,2,3を経たノードにいるならば, $L$の要素の大小の順位の情報が確定しているということになるわけなので, 必然的に全ての$A_{ij}$の大小関係の情報が確定しており, 実質的に全ての$A_{ij}$がソートされているとみなすことができます. そこでこの情報を使ってステップ4で二分探索を行うことができるので, 全体の深さは$O(n^{1.5}\log n)$となります.

5. 何が肝なのか？

4章で紹介したLDTでは, ステップ3で計算した$L$の大小関係を使ってステップ4(1)で行う二分探索のために必要な$A_{st}$の要素の大小関係の情報を得られる, という部分が本質的に最も効いています. あくまでも「得られる」というわけであって「簡単に計算できる」というわけではないのがミソです。例えばソートアルゴリズムをそのままLDTに翻訳した場合は「$a_i-a_j\geq 0?$」というノードに対してインデックス$i,j$を簡単に計算して求められていたのですが, 今回考えたLDTではこのようなインデックスは存在性が保証されているだけであって簡単に計算できるとは限らないという点がポイントです。このように存在性と計算可能性のギャップがチューリングマシンとnonuniformモデルのギャップに繋がってくるのは面白い観点だと思いました。

参考文献

[1] Allan Grønlund and Seth Pettie, Threesomes, Degenerates, and Love Triangles, JACM, 65(4), pp.1--25, 2018 (preliminary version is in FOCS14).

[2] Jeff Erickson, Bounds for linear satisfiability problems, Chicago J. Theor. Comput. Sci.,1999(8), 1999 (preliminary version is in SODA95).

小記事: 3SUMのO(n^2)時間アルゴリズム

 3SUMと呼ばれる次の判定問題を考えます:

入力 : $n$個の整数値 $A=(a_1,\dots,a_n)$ ただし$a_i\in[-n^c,n^c]$.

出力 : YES iff 相異なる三つ組 $(i,j,k)$ が存在して $a_i+a_j+a_k=0$

この問題は

for i in range(n):

    for j in range(n):

        for k in range(n):

            if a[i]+a[j]+a[k]==0: return YES

return NO

というコードによって$O(n^3)$時間で解けますが, 少し工夫して次のようにすれば $O(n^2\log n)$ 時間で解けます.

L = []

for i in range(n):

    for j in range(n):

        L.append(a[i]+a[j])

L.sort()

for k in range(n):

    if -a[k] is in L:     // 二分探索をして-a[k]がLにあるかどうかを判定

        return True

return False

しかし尺取り法に基づいた次のアルゴリズムを用いると$O(n^2)$時間で解くことができます (簡単のため, 入力配列$A$の中身は全て相異なる要素であるとします).

A.sort()

for i in range(n):

    l = 0

    u = n-1

    while True:

        if u==l: return False

        if A[i]+A[u]+A[l]==0: return True

        elif A[i]+A[u]+A[l]>0: u-=1

        elif A[i]+A[u]+A[l]<0: l+=1

            

3SUMという問題は計算幾何学や精緻な計算量理論において非常に重要な問題の一つとされていて, 任意の定数$\epsilon>0$に対して$O(n^{2-\epsilon})$時間では解けないと予想されています.

一方で$\mathrm{polylog}(n)$倍の改善はなされています.

講義を完走した感想

人生で初めて講義（教える側）をしたのですが、とても濃い経験になったので備忘録として残そうかと思います。大学で講義を「する」という経験は一般的に見ればなかなかない経験であまり想像がつかないと思いますので、どういう感じなのかを説明します。講義資料の準備で意識したことや悩んだことなども綴っていくので、これから講義をする機会のある方には参考になる部分もあるんじゃないかと思います。既に幾つも講義を受け持っているプロフェッショナルな方々には自身の経験を思い出して温かい目で見守っていただけたら幸いです。コロナ禍という特殊な環境ではあったものの初の対面講義で奮闘した一人の助教の記録です。

0. 背景

自分が担当した講義はプログラミングの発展的な内容を扱うもので、学部2年生向けの講義です。まだ学部2年生の前期なのでまだあまり専門分野を学んでいない状態です。とはいえプログラミングの基礎的な部分はある程度学んでいてPythonは少しは分かるという状態です。また、必修科目というわけでもないので、受講者はある程度プログラミングに興味を持っているという想定です。また、ORなどに興味を持ちそうな理系向けの講義になっています。

1. 講義内容と形式の決定

自分が最初に苦労したのはこの部分です。特に何をすべきかが厳密に定まっておらず、内容はほとんどを任されていましたが、昨年度までの資料を見る限りでは基礎的なアルゴリズムをやっていたためその方向性は守ろうと思いました。他の先生に話を聞くと「ダイクストラ法はやってほしい」みたいな声も聞いたので、この辺りはちゃんと取り込もうと思いました（もちろんダイクストラは元々やるつもりでしたが）。昨年度までは本当に幅広く（平面幾何、乱択アルゴリズム、組合せ最適化など）さまざまなアルゴリズムを軽く紹介するという感じだったので、組合せ最適化の内容を主に扱い、最後に自分の趣味（ランダムグラフ、ランダムウォークなど）を少し取り入れた感じにしようと考えていました。

私の所属する大学はクォーター制度を導入していたため、講義は全7回です (6月頭〜7月末)。週1回講義と演習の時間がそれぞれ100分ずつあります（なので計200分あります！）。また、2020年度はコロナ禍の影響でオンライン講義になっていたようですが、私が赴任した2021年度は演習ということもあり対面授業になるとのことでした。

私がD3だった2020年度はコロナ禍が始まった年ということもあり仕方のないことですが対面講義と比べるとオンライン講義はあまり楽しいものではありませんでした。なので対面で講義できるというのは嬉しく思いました。特に受講生の顔で反応を見ながらインタラクティブに教えたりするのは教育の楽しい部分だと個人的に思います。

とはいえ緊急事態宣言が発出されている状況なのでいつオンライン講義に変更になっても対応できるように、昨年度と同様に google colab (jupyter notebookをブラウザ上で動かすgoogleのサービス) のドキュメントを講義資料とすることにしました。特にgoogle colabだと学生のPCにpythonを動かすためのソフトを入れる必要もなく, googleアカウントさえあれば誰でも動かせるのもあって導入が非常に簡単です (今の時代だとほとんどの人がYouTubeを観たりするのでgoogleアカウントは持っています). ipynbファイルを講義資料として配布し、受講生は自分のPCを持参してもらえれば普通に講義を行うことができます。

2. 講義資料の準備 (第1回〜第3回)

4月に着任して早々に講義をどうするかが頭をよぎったので、かなり前もって準備をすることにしました。今思えばこの選択はかなり良かったです（何事も余裕を持って準備しておくことは非常に大切です）。

講義資料を作る前に自分の中ではグラフアルゴリズムをメインに据えるということを意識しました。グラフ理論やグラフアルゴリズムは自分が非常に得意とする分野であり、何度も実装したことがあるからです。そこで、当初は次の二つの事項を講義で扱おうと考えました：

1. Pythonを用いて基礎的なアルゴリズムを理解

  キーワード: 再帰, DFS, BFS, 貪欲法, 最短経路問題 (Dijkstra, Warshall—Floyd), DP.

2. 応用を知る: ネットワーク解析

  キーワード: ランダムウォーク, ランダムグラフ (BAモデル),  ネットワーク中心性 (PageRank, 媒介中心性) など.

ひとまず第1回の講義はPythonの復習を行い、その後は基礎的なアルゴリズムをひたすら紹介していき、最後の第7回講義で自分の趣味を交えた講義を行うという計画を立てました。

この方向で講義を組み立てて実際に講義資料を作り始めたのが4月の中旬 (講義開始2ヶ月前) でした。初回の講義資料が完成したので見返しました。初回はPythonの文法の復習だけやって「1から1000までの7の倍数の和を求めるコード」とかを1時間やるものだったので、純粋に「これはツマランな」と心配になりました。そこで少しでも退屈を紛らわそうと再帰関数の紹介を行いました。再帰を使ってフィボナッチ数列や階乗の計算のプログラムを書き、最後に非自明な例として分割数の漸化式を示しつつ分割数を計算するコードも紹介しました。

第1回の課題は「与えられた自然数が素数かどうか判定せよ」みたいな問題を出していましたが、なんとなく味気ないのでコラッツ予想を絡めた問題も出題してみました。こんな感じです。

この調子で第2回講義資料も取り掛かり、計算量とグラフの定義を行いました。グラフの隣接行列や隣接リストを紹介し、「グラフの次数列を計算せよ」「三角形（長さ3の閉路）の個数を求める関数を書け」といった課題を出していました。

課題を考える時に意識したのはデキる人でも退屈しない内容にしたいということです。講義そのものは流石に集中が散ったりするのでしょうがない部分もあるかもしれませんが、せめて競技プログラミングのように、問題を解く部分に楽しみを見出して楽しんでもらいたいと思っていました。第2回講義以降は毎週の課題の中に一つだけ学部2年生向けの講義にしてはありえないくらレベルの高い難問を設けることにしました (難問はチャレンジ課題枠としてあり、解けなくても成績に影響は出ないことを明言した上で出題しました）。

ちなみに第2回講義で出題した難問は以下の問題です：

要するに長さ4の閉路の判定を$O(n^2)$時間で行えという問題で、この記事にも紹介したように鳩の巣原理を使うと計算量が抑えられるという問題です。これを計算量の概念とグラフの定義を学んだばかりの学部2年生に出すのは正気の沙汰とは思えません。こんなん知らない状態から解けるやつおらんやん...

第1回と第2回の講義資料と課題の準備が一通り終わったので、他の先生や学生TAに難易度や分量を含めて確認してもらい、大丈夫そうとのことだったのでここでようやく一息つきました。ここまでの講義の内容は必須事項だったのであまり迷いはありませんでしたが、以降の構成に頭を悩ませることになりました。

ひとまず考えた計画としては残りの5回で

・可視化ライブラリ(matplotlibとnetworkx)の紹介、幅優先探索、深さ優先探索
・貪欲法、クラスカル法
・動的計画法
・Dijkstra、Warshall--Floyd、Bellman--Ford
・フロー (Ford--Fulkerson) 

をやるか、または最後のフローはやらずに代わりに自分の趣味（ランダムグラフなど）を紹介するか、どちらかにしようと決めました。

いずれにしてもグラフアルゴリズムをやることは決まっていたので、せっかくなのでアルゴリズムの可視化を行うことを思いつきました。ひとまずgoogle colab上でのアニメーションの方法を学び、試しにDFSやBFSのアニメーションを書いて遊びつつ講義資料の準備を進めました。

ちなみにこんな感じのアニメーションを作りました。受講生はgoogle colabで開いている講義資料にあるPythonコードを実行するとこのようなアニメーションが出てくるというようになっています。アルゴリズム自体を可視化しているのでグラフは自由に変えられます。また、ボタンを押した時に一コマだけ進ませるというようなことも可能です。

ちなみにこの動画のソースコードは本記事の5章で公開しています。

この調子でクラスカル法やダイクストラ法もアニメーションプログラムを作っていこうと決めていくうちに、とうとう初回講義の日がやってきました。

3. 対面講義初回

結論からいうと初回講義は機器の不調なども重なって非常に大変でした。そもそも自分の担当は講義100分＋演習100分だったのですが、実は当時の自分は勘違いをしていて講義100分の中に演習が組み込まれているものと思っていました（なので実際の講義は想定の倍あったということになります）。

元々70分程度の想定の下で準備していた講義を緊張もあって少し早口で進めていき、めちゃ早く終わっちゃうと内心焦っていたら、突然PCの調子が悪くなり学生TAのPCを急遽借りて講義を再開して案の定めちゃくちゃ早く講義部分が終わって演習時間がものすごく長くなるなど、思い返しても大変な1日になってしまいました。結局初回は課題が簡単だったのでほとんどの学生がすぐに帰る感じになっていました。

今にして思えばもっとやりようはあっただろうとも思えますが、2ヶ月弱前から準備していたしやれることはやったのであまり気にせずとりあえず講義を進めていくことになります。

第2回講義は使用PCも変えたので第1回と比べるとかなりスムーズに終えられました。第2回課題には第1回とは違い難問も用意していましたが、これは予想以上に反応が良かったです。計算量を気にしてプログラムを書くということをあまり経験してこなかった学生がほとんどだと思うので四角形の高速な判定にどこまで取り組んでくれるか心配したのですが、10人弱の学生が18時くらいまで残って議論しながら取り組んでくれました。これには教員側からしてもとても嬉しかったです。

4. 講義の改善点の洗い出し

まだ2回ではあるもののここまで講義をやってきていくつか変更点が見えました。まず、そもそも講義時間を勘違いしたまま準備していたので単純問題として内容は倍にできる。どうするか？

また、学生の質問を受け付けていくうちに色々改善した方がいいかもなぁというものも多く出てきました。例えば

• google colabのインデント幅の設定が人によって違う
• 自身が書いたコードがちゃんと正しく動いてるかを確認するのが面倒（学生が自分でテストケースを用意して確認しなければならないが、グラフアルゴリズムだと自分で隣接リストなどを用意しなければならない）
• printfデバッグみたいなことを教えた方がいいのか？

などです。printfデバッグは質問してきた学生に「こうしてprintをするとどこで詰まったか分かるよ」と直接教えることにしました。

インデントなど、全体に連絡すべき事項はちゃんと講義冒頭にスライドを使って説明するようにしました。

課題プログラムの自己チェックを可能にするために、Checkerというものを導入しました。これはつまるところ競技プログラミングのサンプルケースとその答えを事前にこちらで用意しておき、学生が書いたコードがこれらのサンプルケースで正しい答えを出すかどうかをチェックするプログラムを講義資料に入れておいたのです。こんな感じです。

＊）完全に問題がAtCoder感があるかもしれませんが、こういう文章題は少なくて、普通の問題はグラフ理論の用語を使った問題文になっています。

また、課題の採点を楽にするためにテストケースを用意しました。基本的にはテストケースで正解していて大丈夫そうなコードを書いていたらその課題を満点にするという感じにしました。これのおかげで採点は劇的に楽になりました。

もちろん、サンプルケース, Checker, テストケースによる自動採点の準備はかなり大変でこれを講義資料の準備と並行して行うのは非常に時間がかかり大変でした。しかし、特にCheckerの導入は受講生にはかなり高評価だったようで、さらに「Checkerを走らせたらエラーが出た/Wrong answerだった」という類の質問がきてくれたことは良かったです（Checker導入以前はあまり質問をしてくれる学生がいなくて寂しかったです）。やはり、自分の書いたプログラムがちゃんと動いているかの確認が簡単にできるということは準備の大変さに目を瞑ればメリットしかありません。

5. 以降の講義資料の準備と講義

ここまで来ると講義自体も少しずつ慣れてきて、講義内容も固まってくるので特に悩むこともなくなってきます。以前立てた計画通り

・貪欲法、クラスカル法
・Dijkstra、Warshall--Floyd、Bellman--Ford
・動的計画法
・フロー (Ford--Fulkerson) 

の順番で講義資料を準備していきました。結局最終回はフローと最大二部マッチングをやることにしました。

ちなみに講義資料のために作ったアルゴリズムのアニメーションは

https://colab.research.google.com/drive/1ed0fAC6rUMcScJYxv0Kc0Ox-wDBf2FSR

で閲覧することができます（ダウンロードすれば誰でも編集とかができるので、講義などで使ってみたいという方ご自由にどうぞ。ソースコードの下から二行目のanim.save(...)の部分をコメントアウトすると動画をmp4ファイルで保存できます）。

ちなみに細かい講義内容は

第4回:

• 貪欲法 (コイン支払い問題, 区間スケジューリング問題)
• 最小全域木問題
• クラスカル法

第5回

• 最短経路問題
• ダイクストラ
• ベルマンフォード
• ワーシャルフロイド

第6回

• 動的計画法
• 最長共通部分列問題
• ナップザック問題
• 重み付き区間スケジューリング問題
• Held—Karp のTSP

第7回

• フロー
• 残余グラフ
• Ford—Fulkerson
• Edmonds—Karp
• 二部マッチング
• 割り当て問題

という感じになりました。難問枠としてmeet-in-the-middleなどを出題しました。

反省点は幾つもあります。

• 第5回以外は意外と早く講義が終わってしまったというのがあります。アルゴリズムを広く浅く紹介して課題で問題を解きながら理解を深めてもらうというスタンスだったので、内容としてはちょうど良いのかもしれませんが講義自体は説明は割と早めに終わってしまいました。この辺りは説明をもっとゆっくりやればちょうど良くなりそうな気配があるので、経験を積むと感覚が掴めてくるのかもしれません。
• 初回の講義についてはPythonの復習にたくさん時間を割くよりも、エラトステネスの篩、ユークリッドの互助法、二分探索などの軽いアルゴリズムの紹介などが出来た気がしています。復習に時間を割くよりもコードで出てくる度に「リストはこうやって要素を追加するよ」と言えば良さそうです。
• 課題の提出についても注意喚起が足りなかった部分があります。課題を解いたのに保存で失敗して白紙の状態で提出してしまったという学生もいました。こういった不運な事故を防ぐ努力（注意喚起）はもうちょっとすべきだったと思います（流石に初めての講義でそこまで気が回らなかったのもしょうがない気がしますが。。。）

このように、色々と改善点はまだまだあるものの、初めてやったにしては上出来なんじゃないかと開き直ることにしています。

なお、講義資料の準備段階では他の先生の講義動画などが非常に参考になりました。説明の順序やその問題を考える動機などが自然に導入されており、流石だなぁと思いました（もはやこの動画が講義資料でいいじゃんと思っちゃうくらい）

6. 感想

元々自分は人に教えるのが好きだったので、とても楽しく完走することができました（もちろん準備はかなり大変でしたが。。。）来年度以降はゼロからアニメーションコードを開発したりまではしなくて良いのである程度苦労は減ることを期待していますが、今年度できなかった内容も取り入れたいし、実は少し楽しみにしています。例えば乱択アルゴリズムを取り入れて難問枠としてcolor codingを入れたりとかを妄想しています笑

一方でコロナ禍での対面授業ということもあり、感染拡大の防止にものすごく気をつけました。対面講義をするというのもあって、4月の緊急事態宣言以降は今もなお一度も人と一緒に外食をしておらず、そもそも食事はほとんど全てをテイクアウトか自炊で済ましています（講義が終わった今後も同様の生活を続けていくつもりです）

受講生自身からも対面授業が嬉しいというコメントがきている一方で彼らも感染防止にはかなり気を遣ってくれていて、もちろん完全に会話をゼロにするには流石に無理ですが、それでも常にマスクをつけて暑い中換気のために窓を開けるのに協力してくれたり、入室時には必ず手の消毒をしてくれていました。

私が担当した2年生は昨年度はコロナ禍でほとんど大学に来れなかったということもあり、対面授業で盛り上がって大声で話し出したらどうしようと危惧していて（実際そうなったとしたら流石に注意せざるを得ないが彼らの心情を考えると非常に心苦しい）悩んでいた時期もありましたが、基本的には近くの2~3人組で相談し、意欲のある学生は難問の相談を行う感じになってくれており、当初危惧していたようなこともなかったため非常に安堵しています。

私の周りや受講生で感染者が出たという話は今のところなく、おそらく2週間後くらいまでは完全に安心できないですが、ひとまず講義中にこのような問題が起きなかったことが一番ホッとしています。

次数分離: スパースなグラフで役立つアルゴリズムのアイデア

単純無向グラフ$G=(V,E)$上で長さ$k$の閉路を探したり直径を求めたくなったりする時があります。そして時には$G$はスパースになっていることを利用したくなります。今回の記事では、スパース性を利用した単純ながら面白く賢いトリック (次数分割: high-degree low-degree technique)を紹介し、これに基づいてグラフに含まれる三角形 (長さ3の閉路) の個数の数え上げを行う非自明なアルゴリズムを紹介します。次数分離という和名は私が勝手に名付けたものであり世間で浸透しているものではないので注意してください (もし世間で浸透している名前をご存知の方がいらっしゃいましたら教えていただけると嬉しいです...!!）。このアイデアはAlon, Yuster, Zwick [1] によるものです。

$|E|=m$, $|V|=n$とします。一般には$m=O(n^2)$になりえますが、今回は$G$がスパースであることを仮定してるので$m=O(n)$を想定します。ただ次数分離は一般の$m$に対しても適用でき、例えば$m=O(n^{1.5})$とかでも似たような解析で計算時間を見積もることができます。

次数分割の基本アイデア

頂点$v$の次数を$\deg(v)$とします。$\alpha\in[0,1]$をパラメータとし、

$$H=\{v\in V: \deg(v)>n^\alpha\},$$

$$L=V\setminus H$$

とします ($H$は high degree、$L$は low degree のイメージです）。すると、$2m=\sum_v \deg(v)$ なので

$$2m \geq \sum_{v\in H} \deg(v) > |H|n^\alpha$$

より$|H|<2m/n^\alpha$となります。特に$m=O(n)$ならば$|H|=O(n^{1-\alpha})$となり、$n$と比べて小さくなります。これらの頂点部分集合は$O(m)$時間で得られます (計算モデルは$O(\log n)$bit-Word-RAM モデルを仮定)。

応用. 三角形(長さ3の閉路$C_3$)の数え上げ

入力としてグラフ$G=(V,E)$が与えられ、$G$に含まれる長さ$3$の閉路$C_3$と同型な部分グラフを数え上げる問題を解いてみましょう。以下の二つの素朴なアルゴリズムを考えます。

・アルゴリズム1:

$G$の隣接行列の三乗を計算し対角成分の総和を見ると、長さ3の閉じたウォークの個数となり、これは三角形の個数の$3!=6$倍になっています。従って$O(n^{\omega})$時間で数え上げられます。 ($\omega<2.373$は高速行列積の指数)。

・アルゴリズム2:

各頂点に対して隣接点を列挙して隣接点のペアで隣接しているものがあるかどうかを見れば$O(\sum_{v\in V}\deg(v)^2)$時間で数え上げが解けます。$(2m)^2=\left(\sum_{v\in V}\deg(v)\right)^2\geq \sum_{v\in V}\deg(v)^2$より、このアルゴリズム2は$O(m^2)$時間なので、例えば$m=O(n)$なら$O(n^2)$となりアルゴリズム1以上に高速になります ($\omega=2$なら同等のオーダーになる)。

ここで、冒頭に説明したアイデアを考えます。適当なパラメータ$\alpha\in[0,1]$に対して上で定義した頂点部分集合$H,L$を得ます。入力グラフ$G$に含まれる三角形$C_3$は以下の二つのケースに分類されます:

ケース1. 三頂点全てが$H$に含まれる場合

ケース2. 一つ以上の頂点が$L$に含まれる場合

ケース1は誘導部分グラフ$G[H]$内に含まれる三角形の個数を数え上げれば良く, $|H|=O(n^{1-\alpha})$より素朴なアルゴリズム1を用いれば$O(n^{\omega(1-\alpha)})$時間で数え上げることができます。

ケース2は$L$に含まれる全ての頂点に対し素朴なアルゴリズム2を用いることで列挙できるので、数え上げることができます。このとき、$k$頂点が$L$に含まれるような三角形 $(k=2,3)$ は$k$回列挙されるため適当な値で割ったりする必要があるので気をつけてください。列挙にかかる時間は、$L$に属する頂点の次数が高々$n^\alpha$であるので $\sum_{v\in L}\deg(v)^2 \leq n^{1+2\alpha}$ となります。

以上より、$m=O(n)$の場合は任意の$\alpha\in[0,1]$に対して三角形の数え上げを

$$O(n^{\omega(1-\alpha)}+n^{1+2\alpha})$$

時間で解くことができます。$\alpha=\frac{\omega-1}{\omega+2}$とおくとこの計算時間は$O(n^{3-\frac{6}{\omega+2}})$時間になります。現状では$\omega<2.373$なのでこの計算時間は$O(n^{1.628})$となり, $O(n^2)$よりも高速になっています。もし将来$\omega=2$になることがあれば$O(n^{1.5})$となります。

上の解析では$m=O(n)$を仮定していましたが一般の$m$に対しても同様の解析で$O(m^{3-\frac{6}{\omega+2}})$時間で計算できることを示せます ($|H|=O(m^{1-\alpha})$となるので)。

まとめ

スパースなグラフに対して、ある閾値を設定しそれより高い次数を持つ頂点集合とそれ以外の頂点集合に分割するテクニックを紹介し、その応用として三角形の数え上げ問題を取り上げました。本質的には、このような分離を行い、低次数の頂点の探索は近傍を見るコストが低いことを利用し、高次数の頂点の探索はまとめて処理できる賢いアルゴリズムを利用する、というだけのことです。

三角形と同様の解析を用いれば、例えば入力グラフが四角形(長さ4の閉路)を部分グラフとして持つかどうかの判定問題を$O(m^{4/3})$時間で組合せ的 (高速行列積という飛び道具を使わず初等的に）解くことができます。$H$と$L$に分解したあと、$H$内部の四角形を鳩の巣原理に基づくアルゴリズム (昔の記事参照) で判定し、$L$の頂点を含む四角形は近傍探索を駆使して判定します。結構実装も簡単でシンプルかつ汎用性がありそうなアイデアなので、競技プログラミングで出ても良さそうな気が個人的にはします（というか既にある？？）

参考文献

[1] N. Alon, R. Yuster, and U. Zwick, Finding and counting given length cycles, Algorithmica, 1997.

学生生活の振り返り

東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻の博士課程を修了しました。自分は学部の4年間を東工大の理学部情報科学科で過ごし、その後に東大大学院に進み修士＋博士の5年間を過ごしました。折角なので4+2+3年の学生生活を振り返りつつ、その過程で「もっとこれをすべきだった」や「これはしておいて良かった」と思う事などもまとめます。正直自分には特別なものはなく本当に多くのrejectをくらったりD3の1年間はコロナのせいで出張も行けず辛い思いを多くしてきたのですが、その一方で多くの論文を読んで勉強して研究し続けて理論計算機科学のトップ会議に何本か論文を通すことが出来たのは誇りに思っています。ただ、誰でもそうだとは思いますが、研究をしている最中は論文が通る保証はないわけで、その中で研究を続けていくことに不安を感じることも多々ありました。そんなごくごく普通の学生の吐露からなる記事ですが、興味があればぜひ読んでいってください。

1. D進の理由

自分はB4くらいからD進を考えていて、それ以外の道を考えたことがなかったので特に理由はありません。B4の最初に研究室所属をして初めて研究をした時にかなり楽しく研究できたことが大きかったと思います。学部の間に研究や勉強が楽しいと思えるのは非常に大事なポイントだと思います。今にして思えばD進に際してかなり視野が狭かった（就職に目を向けてインターンなどをしても良かった）気もしますが、逆に迷いなく研究に打ち込めたという面もあるのでどっちもどっちでしょうか。

2. 学生生活で良かったこと

• とにかく勉強した。学生生活が終わると時間をとって勉強することが出来なくなるのではないかと漠然と思っていたので、将来後悔しないようにとにかくD1の1年間は研究はあまりせずとにかく勉強に打ち込みました。自分の場合は Arora & Barak の Computational Complexity や Frieze & Karonski の Introduction to Random Graphs を約1年くらいかけて読みました。特にランダムグラフの本は自分で手を動かしながら読んだのですが、そのおかげでランダムグラフに関する直感を自分で持つことができて今もたまにその直感が研究に役立つことがあるので、やってて良かったと思っています。
• 色んな学会に参加した。ありきたりですが、全国の同年代の人たちと交流をもったり先生方と知り合いになれたのは本当に良かったと思っています。また色んな学会で発表をして自分を宣伝できれば、アカデミアの世界での就活で多少は有利に働くことになるんじゃないかと思います。
• 共同研究をした。自分は博士の3年間はS先生とずっと研究をし、何本も論文を書きました。S先生は自分とは違うバックグラウンドを持つ方で、共同研究をしていく過程で自分一人では到達しえないアイデアを幾つも提案してくださり、結果としてより真理の深淵に近づけたと思います。確かに学会に参加すれば多くの方と交流する機会は得られますが、研究の技術的にディープな内容を討論することは出来ません。それを補いより研究を深めることが出来たというのは良かったと思います。

3. 辛かったこと

• 「選ばれない」ことのショック。自分は幸運にも、受験などではこれまで「選ばれる」方だったのですが、そのために「選ばれない」経験をほとんどしてこなかったがためにDC1に不採択になった時は精神的ショックはかなり大きかったです。特に一時期は「周囲の知り合いが皆DC1を持っているのに自分だけ...」という部分に大きな負目を感じていました。自分の場合は、1ヶ月後くらいに「自分と他人を比較すべきではないから気にする必要はない。むしろ、これから凄まじい業績を出してDC1とった人たちを超えて当時の審査員を見返そう」と奮起してました。改めて見直すとちょっと引くくらいポジティブですが、なんにせよ失敗をひきずらない精神を持つのは重要だと思います。
• 将来への不安。ありきたりで誰もが持つとは思います。自分の場合は「考えてもしょうがない。業績が出れば将来有利になるから今は研究に集中しよう」と考え、将来のことはほとんど考えないことにしました。

4. 後悔

• 一つの究極的な目標をたててそれに邁進する研究をしたかった。自分は主に、個々の小問題を解決していくような研究をしてきました。それは学問における自分の研究の意義を薄くする要因になります。確かに問題を解くことも大事ですが、問題を解いたその後に何を見出すかもまた大事であり、この部分を蔑ろにしてしまったことへの後悔があります。自分が論文の中で新しく提案した部分はその分野においてどのように貢献するかを明白に意識して論文を書くべきでした。自分はこれが（ゼロではなかったにしても）まだまだ足りなかったためにD論でとても苦労しました。博士の3年間はこの力を養うのに最適な期間だと思うので、D進した方々はぜひ頑張ってください。また、将来のことを考えると業績をあげなければと焦るかもしれませんが、その時の流行のトピックにあやかって論文を書くよりも他の誰もやってないオリジナルの観点に基づいた研究を貫いた方が絶対強いと思います。
• もっと海外に行きたかった。D1の１年間はとにかく勉強に邁進していたため、海外の学会などに参加しませんでした。D2になって国際学会に論文が通ったのですが、予期せぬアクシデント（千葉県を襲った巨大台風のせいで飛行機が飛ばず、代わりの飛行機が取れなかった）のためにこの時は海外に行けず、さらにD3では国際学会に3本論文が通ったのにCOVID19のために全てオンライン開催になってしまいました。そのため自分は修士の間に3回海外に行ったっきりで、Dの3年間は一度も海外に行ってません。今後もCOVID19の影響は続けば海外に行けないのも致し方ないですが、実際に海外のレベルの高い学会に参加してレベルの高い発表を聴いたりすると自分のモチベーションが上がったりするし良い機会になるのでやはり参加できるならばすべきだと思います。

5. 総括

ひたすら研究などに集中できたのは間違いなく周囲の環境のおかげであり、自分一人の力ではここまでやってこれないのは明白で、その環境を用意して下さった指導教員、研究室のメンバー、共同研究者、家族には感謝してもしきれません。

研究トピックを決めるのは本当に難しいと思いますが、これから進学していくみなさんには、単に問題を解くだけではなく、その分野における貢献を意識しながらトピックを策定していくことをぜひおすすめします（めちゃくちゃ難しいですが、、、）

The 123 Theorem

こんにちは. のぶしみです. 最近Mathlogという数学の記事共有サービスを使って記事を書くことにハマっておりまして, つい最近, エキスパンダーグラフの紹介記事を書きました. しかし今まで5年以上このブログをやってきているので, メジャーなトピックはmathlogで紹介し, マイナーなトピックは引き続きこのブログで紹介していきたいと思います.

そこで今回は123 Theoremと呼ばれる定理を紹介します. 変わった名前ですが, 次の定理です:

定理 (123 Theorem)

$X,Y$を同じ分布に従う実数上の二つの独立な確率変数とする. このとき

$$\Pr[|X-Y|\geq 2] \leq 3 \Pr[|X-Y|\geq 1].$$

123 Theoremという名前は不等式に出てくる三つの定数に由来します. 私がこの定理に初めて出会ったのは2021年1月に研究室の後輩とAlon & Spencer の The Probabilistic Method の輪読していた時に第1章の演習問題として出題されていた時でした. 私は基本的に本を読むときは演習問題は頑張って解く習慣があるので, 頑張って証明しようしたのですがかなり苦戦して, 結局丸一日を溶かして以下のようにして示すことが出来ました. 実は同じ証明が[1]に載っていてビックリしたので紹介します.

証明.

$x_1,\ldots,x_m\in\mathbb{R}$を$X$の分布に従って独立にサンプリングされた$m$個の点とし, $T_r=\{(i,j):|x_i-x_j|\leq r\}$とする ($(i,i)\in T_r$とする). まず

$|T_2| \leq 3|T_1|$ ......(1)

を示す. この主張は定理の離散化みたいなもので, 実は(1)を示せば良いということが以下の議論から分かります:

$$\mathrm{E}[|T_2|]=m+m(m-1)\Pr[|X-Y|\leq 2]$$

$$\mathrm{E}[|T_1|]=m+m(m-1)\Pr[|X-Y|\leq 1]$$

および(1)より

$$m+m(m-1)\Pr[|X-Y|\leq 2] \leq 3m+3m(m-1)\Pr[|X-Y|\leq 1].$$

これを整理すると,

$$\Pr[|X-Y|\leq 2] \leq 3\Pr[|X-Y|\leq 1] + \frac{2}{m-1}.$$

これが任意の$m$に対して成り立つので, $m\to\infty$とすれば,

$$\forall\epsilon>0,\,\Pr[|X-Y|\leq 2] \leq 3\Pr[|X-Y|\leq 1]+\epsilon.$$

即ち定理の主張が従う.

(1)の証明.

有向区間グラフの言葉で説明する. $\{x_1,\ldots,x_m\}$および$r>0$に対し, 有向グラフ$G_r$を, $V(G_r)=[m]=\{1,\ldots,m\}$, $E(G_r)=T_r$とする. 特に$(i,j)\in E(G_r)$ならば$(j,i)\in E(G_r)$でもあるので, 向きを付けることに本質的な意味はないが, 辺の本数=$|T_r|$として議論していきたいので有向グラフを考えることにする. つまり, $|E(G_2)|\leq 3|E(G_1)|$を示せば良い. 

二つのグラフ$G_1,G_2$を考える. 頂点$i$のグラフ$G_r$における出次数を$\deg_r^+(i)$とする. つまり, $\deg_r^+(i)=|\{j\in[m]:(i,j)\in E(G_r)\}|$であり, 自己ループも1としてカウントする.

主張(1)の証明は$m$に関する帰納法で行う. $m=1$なら$T_r=\{(1,1)\}$なので(1)は成り立つ. $m\geq 2$の場合を考える. $i\in[m]$を$G_1$内で最大出次数を持つ頂点とする. このとき, $\deg^+_2(i) \leq 3\deg^+_1(i)$が成り立つことを言う. もし$\deg^+_2(i)>3\deg^+_1(i)$とすると, 数直線上の区間 $[x_i+1,x_i+2]$ と $[x_i-2,x_i-1]$ のどちらかに必ず$>\deg^+_1(i)$個の点がある (下図).

図. もし$\deg_2^+(i)>3\deg_1^+(i)$なら, より出次数の大きい点がとれる.

これは$\deg^+_1(i)$が最大であることに矛盾します. 従って $\deg_2^+(i)\leq 3\deg_1^+(i)$です. $G_1$と$G_2$からそれぞれ頂点$i$を削除して得られるグラフを$G'_1$, $G'_2$とすれば, 帰納法の仮定より$|E(G'_2)|\leq 3|E(G'_1)|$であり, $|E(G_r)|=|E(G'_r)|+2\deg^+_r(i)+1$なので,

$$|E(G_2)|\leq 3|E(G'_1)|+6\deg^+_1(i)+1<|E(G_1)|$$

となり(1)が成り立つ.

補足

123 Theoremはタイトな例を作ることができ, 例えば$\Pr[|X-Y|\leq 2] \leq 2.99\Pr[|X-Y|\leq 1]$は一般には成り立ちません: $\{2,4,6,\ldots,2n\}$上の一様分布を考え, この分布に従う独立な二つの確率変数$X,Y$を考えます. このとき,

$$\Pr[|X-Y|\leq 2] = \frac{3}{n}-\frac{2}{n^2},$$

$$\Pr[|X-Y|\leq 1] = \Pr[X=Y]=\frac{1}{n}$$

より, $\Pr[|X-Y|\leq 2] = 3\Pr[|X-Y|\leq 1] - \frac{2}{n^2}.$

参考文献

[1] N. Alon and R. Yuster. The 123 Theorem and its extensions, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 72(2)322--331, 1995.

ランダム正則グラフの sandwich conjecture

ランダム正則グラフ理論において有名な sandwich conjecture と呼ばれる予想があるのですが, 最近この予想に大きな進展[3,4]が見られたので紹介します. このトピックは私が修士の頃から論文を読んで追っていたトピックなので, 今回の進展をもたらした論文の登場は個人的にはかなり衝撃的でした.

1. ランダム正則グラフとErdős–Rényiグラフ

1.1. 定義

$n$ 頂点 $d$-正則の頂点ラベル付きグラフ全体の集合から一様ランダムに取り出したグラフをランダム$d$-正則グラフと呼び, $G_{n,d}$ で表します. また, $n$頂点の各頂点のペアを独立に確率$p$で辺で引いて得られるランダムなグラフを Erdős–Rényiグラフと呼び, $G(n,p)$ で表します. $G(n,p)$の基本的な性質などは以前の記事を参照してください.

1.2. ランダムグラフの解析

ランダムグラフの解析をする上でそのランダムグラフの生成モデルに対する考察が不可欠です. たとえば, 

$p=o(n^{-1})$ に対して $G(n,p)$ は確率 $1-o(1)$ で三角形を含まない

という事実が知られていますが, これは, $X$ を $G(n,p)$内に含まれる三角形の個数と定めたときに, Markovの不等式より

$\Pr[X\geq 1] \leq \mathbb{E}[X] = \binom{n}{3}p^3 \leq (np)^3 = o(1)$

となることから従います. $G(n,p)$を考えると$\mathbb{E}[X]$の期待値が非常に計算しやすいためにこのような簡単に証明できるわけです.

それでは, $G_{n,d}$ に含まれる三角形の個数 $X$ に対して $\mathbb{E}[X]$ を求める時はどのようにすれば良いでしょうか？ $G(n,p)$の場合は各辺が独立に出現していたので簡単に $\mathbb{E}[X]$ を求められましたが, $G_{n,d}$ はそうとはいきません.

実は, $G_{n,d}$ には configuration model と呼ばれる生成モデルが知られていて, これを使えば $2^{O(d^2)} nd$ 時間でランダム $d$-正則グラフを生成することができます. 技術的な詳細は省きますが, このconfiguration model に基づけば $d=d(n)$が $n$ に依存しない定数ならば $G_{n,d}$ のさまざまな構造的性質を用意に解析することができます. 例えば, $d$が定数のときは $n\to\infty$ の漸近で三角形の個数$X$ はポアソン分布に従うことが証明できます. また, $d=d(n)$ が $o(\sqrt{\log n})$ くらいまでならなんとかできることもありますが, 例えば $d=(1+o(1))n^{1/3}$ などの場合は難しくなります.

$d=d(n)$ が大きいときの$G_{n,d}$の生成はそれ自体が一つの研究トピックになるほど難しい問題になっていて, 例えば $d=o(n^{1/2})$ に対して $G_{n,d}$ を $O(nd^3)$ 時間でサンプリングする論文がFOCS15に採択されています[6]. このトピックは多くの論文がありますが, 大体は switching method と呼ばれる手法に基づいたものになっていて, この手法を考えることで$G_{n,d}$ の解析を (時にはかなりアドホックな発想も必要になりつつも) 行うことができます ([2]の10章参照). しかしながら switching method を以てしても $d=o(n^{1/2})$ などの条件を課す必要があります. 

すなわち, $d=d(n)$ が大きくなるにつれて$G_{n,d}$の生成と解析は困難なものになっていきます.

1.3. 構造的類似性

$G(n,p)$ の平均次数 $np$ が $np=d=\omega(\log n)$ を満たすとき, $G_{n,d}$と近い構造を持つであろうことが以下の議論から推察できます: まず, $G(n,p)$の頂点 $v$ を固定しその次数 $\deg(v)$ を考えます. この値は$G(n,p)$ がランダムに生成されるので確率変数となっていますが, $\deg(v)=\sum_{u\in V\setminus \{v\}} \mathbb{1}_{uv\in E}$ と書けてこれは独立確率変数の和になっているため, 期待値 $(n-1)p\approx np$ に集中します. 具体的には, Chernoff bound (補足の章の補題A.1参照) とUnion boundを組み合わせると, 任意の$t>0$に対し$$ \Pr[\forall v\in V, |\deg(v)-(n-1)p|\geq t] \leq 2n\exp\left(-\frac{t^2}{2(n-1)p+2t/3}\right)$$が示せます. 特に, $np=\omega(\log n)$ が成り立つときに $t=10\sqrt{np\log n}$ を代入すると, 非常に高い確率で, 全ての頂点の次数が $np\pm 10\sqrt{np\log n}$ の範囲におさまることが示せます. この議論から, $G(n,p)$ は "ほぼ" $(np)$-正則グラフとみなすことができるので, $np=d$のときは $G(n,p)$と$G_{n,d}$は似た構造的性質を持つことが予想されます. 実際, 彩色数や最大クリークのサイズなどは漸近的にほぼ同じ値を持つことが知られています.

(*) あくまでもこの類似性は $d=np$ が大きい場合にのみ成り立つことに注意してください. 例えば $d=np=3$ のとき, $G_{n,d}$ は確率 $1-o(1)$ で連結である一方で $G(n,p)$ は確率 $1-o(1)$ で非連結です.

2. Sandwich conjecture

1章で述べた類似性をちゃんと議論した研究が幾つかあります [1,3,4,5]. 一番最初にこの類似性を研究したのは Kim & Vu [5] です. 彼らの定理を述べるために, $\mathcal{G}(n,p)$ を $G(n,p)$ の分布, $\mathcal{G}_{n,d}$ を $G_{n,d}$ の分布とし, $X\sim \mathcal{G}$ と書いた時は確率変数 $X$ は分布$\mathcal{G}$に従うことを意味します. また, 次の定理ではランダムグラフのカップリングについて考えていきます. カップリングの定義などについては補足A.2を参照ください.

定理1 (Informal; Theorem 2 of [5]).

$d=d(n)\in\mathbb{N}$ を, $d=\omega(\log n)$ かつ $d=o(n^{1/3}/\log^2 n)$ を満たす関数とする.

$p_1=p_1(n)=(1-O(\log n/d)^{1/3}) d/n$,

$p_2=p_2(n)=(1+o(1))d/n$

とする. このとき, 次を満たす $G_L\sim \mathcal{G}(n,p_1)$, $G_d\sim \mathcal{G}_{n,d}$, $G_U\sim \mathcal{G}(n,p_2)$ のカップリング $\pi$ が存在する:

(1) $\Pr[E(G_L) \subseteq E(G_d)] = 1-o(1)$.

(2) 確率 $1-o(1)$ で $E(G_U) \setminus E(G_d)$ のなすグラフの最大次数は $o(\log n)$

定理1の内容はinformalなもの (特に $p_2$ には実際にはもう少し条件が設定されている) であることに注意してください. 厳密なステートメントを知りたい方は元論文[5]を参照してください.

定理1から, $G_{n,d}$ は $d$ が定理1の条件を満たす場合は $p\approx d/n$ に対し $G(n,p)$ を部分グラフとして含むということが従います. 例えばこの $G(n,p)$ が直径$\leq 10$ であったならば, これを含む $G_{n,d}$ も直径$\leq 10$ になることが直ちに従います. より一般的に, 辺の追加における単調性を持つような性質を$G_{n,d}$が持つという証明をしたい場合は対応する $G(n,p)$ で考えれば良いという議論になるので, ランダム正則グラフの構造的性質の証明が一気にしやすくなるわけです.

その一方で, (2)の結果では単に $G(n,p_2)\setminus G_{n,d}$ の最大次数が抑えられるということしか主張しないので, $G(n,p_2)$が$直径>10$であることが言えたとしてもそこから$G_{n,d}$が直径$>10$になることが従うわけではありません. つまり, 定理1には

・ $d=d(n)$ に条件がついている (特に, $d=o(n^{1/3})$じゃないといけない).

・包含関係が片方しか示されていない.

という二つの問題点が残っていることになります. Kim と Vuは sandwich conjectureと呼ばれる次の予想を[5]で提示しています:

予想 (Sandwich conjecture, Conjecture 1 of [5]).

$d=d(n)=\omega(\log n)$ とする. ある関数 $p_1=(1-o(1))d/n$, $p_2=(1+o(1))d/n$ に対して, 以下を満たす $G_L\sim \mathcal{G}(n,p_1)$, $G_d\sim \mathcal{G}_{n,d}$, $G_U\sim \mathcal{G}(n,p_2)$ のカップリングが存在する:

$\Pr[G_L \subseteq G_d \subseteq G_U] = 1-o(1)$.

3. Sandwich conjecture 解決への進展

Sandwich conjectureに対する進展を簡単に紹介していきます.

・Kim & Vu [5] では上にあげた二つの問題点を残していました.

・Dudek, Frieze, Ruciński, and Šileikis [1] は, $d=\omega(\log n)$ かつ $d=o(n)$ ならば, ある$p_1=(1-o(1)) d/n$ に対して 定理1 の(1) の条件を満たすようなカップリングがあるということを示しています. 実際には[1]ではランダムグラフを一般化したランダムハイパーグラフを考えてカップリングの存在性を証明しています. ランダムグラフの本[2]の10章にこの結果の説明と証明が載っているので気になる方は参照ください. 実は, 私が2018年にSODAに通した論文も[1]の結果を用いています.

・Gao, Isaev, and McKay [4] は $d=\omega(n/\sqrt{\log n})$ に対して Conjecture 1 が真であることを主張しています. Kim and Vu の問題点だった逆方向の包含関係を ($d$が非常に大きいという仮定の下ではありますが) 解決したものになっています.

・Gao [3] は $d=\Omega((\log n)^7)$ に対して Conjecture 1 は真であることを主張しています. [4]では $d$ の仮定が非常に強いものでしたが, これをほぼ解決したということになります.

4. まとめ

ランダム正則グラフが研究に出てくるときは, $p=d/n$ に対して $G(n,p)$ を考えると良いです. もし $G(n,p)$ が望ましい性質を持つならば, sandwich conjecture より, 対応する $G_{n,d}$ も同様の性質を持つことが言えるかもしれません.

A. 補足

A.1. 集中不等式

補題A.1 (Chernoff bound; Theorem 21.6 of [2]).

$X_1,\ldots,X_n$を独立な確率変数で, $0\leq X_i\leq 1$ とする (必ずしも同一である必要はない). $S=\sum_{i=1}^n X_i$ とし, その期待値を $\mu$ とする. このとき, 任意の$t>0$に対して以下が成り立つ:

$$\Pr[S\geq \mu+t] \leq \exp\left(-\frac{t^2}{2\mu + 2t/3}\right),$$

$$\Pr[S\leq \mu-t] \leq \exp\left(-\frac{t^2}{2\mu + 2t/3}\right).$$

A.2. カップリング

$X$と$Y$をそれぞれ分布 $\mathcal{D}_X,\mathcal{D}_Y$ に従う確率変数とします. $X$と$Y$の同時分布 $\pi$ であって, $X$と$Y$の周辺分布$\pi_X$, $\pi_Y$ がそれぞれ$\mathcal{D}_X$, $\mathcal{D}_Y$と等しいものを, $X$と$Y$のカップリングと呼びます. この記事では$G(n,p)$や$G_{n,d}$をそれぞれ確率変数とみなし, ランダムグラフ同士のカップリングを考えることがあります. また, 確率変数と分布を区別するために, $G(n,p)$と$G_{n,d}$の分布をそれぞれ $\mathcal{G}(n,p)$, $\mathcal{G}_{n,d}$ と書くことにします.

例1: $G(n,p)$ と $G(n,p)$ のカップリング.

$\mathcal{G}(n,p)$に従って得られた二つのグラフ $G_1,G_2$ が, $G_1=G_2$を満たすようなカップリングが存在します. 最初に$X$として$G(n,p)$を考え, 次に$Y=X$とするだけです. このカップリングにしたがって得られた二つのグラフ $G_1,G_2$は必ず $G_1=G_2$ となっており, $G_1$と$G_2$の周辺分布はどちらも$\mathcal{G}(n,p)$ になっています. 自明な例です.

例2: $G(n,p_1)$ と $G(n,p_2)$ のカップリング.

$p_1\leq p_2$ とします. $G_1\subseteq G_2$ となるような $G_1\sim \mathcal{G}(n,p_1)$ と $G_2\sim \mathcal{G}(n,p_2)$ のカップリングが存在します. まず, $G_2\sim\mathcal{G}(n,p_2)$を生成します. そして得られたグラフ$G_2$の確辺を確率 $1-p_1/p_2$ で削除して得られたグラフを$G_1$とします. このように生成したグラフの組 $(G_1,G_2)$ は $G_1\subseteq G_2$の条件をみたします. $G_2$の周辺分布は明らかに$\mathcal{G}(n,p_2)$です. 最後に$G_1$の周辺分布を考えます. $G_1$の各辺は独立に現れ, その確率は$p_2\cdot (1-(1-p_1/p_2))=p_1$ となり, 確かに$G_1$の周辺分布は$\mathcal{G}(n,p_1)$となります.

この例で紹介したカップリングの存在生から, 例えば次の結果が用意に証明できます:

命題 A.2.

$G(n,p_1)$が確率$1-o(1)$で連結であるとする. このとき, 任意の $p_2\geq p_1$ に対して $G(n,p_2)$は確率$1-o(1)$で連結である.

証明:

例2のカップリング$\pi$を考える. このとき

$$\Pr[G(n,p_2)\text{ is connected}] = \Pr_{(G_1,G_2)\sim \pi}[G_2\text{ is connected}]\geq \Pr_{(G_1,G_2)\sim \pi}[G_1\text{ is connected}]$$

となり, $G_1\sim\mathcal{G}(n,p_1)$は確率$1-o(1)$で連結であることから主張は直ちに従います. 上式の不等号は$G_1\subseteq G_2$から従います.

一般に, 連結性といった, 辺の追加でinvariantなグラフの性質ならどんなものでも命題A.2のような結果が例2のカップリングを使えばすぐに示せます.

参考文献

[1] Andrzej Dudek, Alan Frieze, Andrzej Ruciński, and Matas Šileikis. Embedding the Erdős–Rényi hypergraph into the random regular hypergraph and Hamiltonicity, JCTB, 2017.

[2] Alan Frieze, and Michał Karoński. Introduction to random graphs, Cambridge University Press, 2015

[3] Pu Gao, Kim-Vu's sandwich conjecture is true for all $d=\Omega(\log^7n)$. arXiv, 2020. https://arxiv.org/abs/2011.09449

[4] Pu Gao, Mikhail Isaev, and Brendan D. McKay. Sandwiching random regular graphs between binomial random graphs. In Proceedings of SODA, 2020.

[5] Jeong Han Kim and Van H Vu. Sandwiching random graphs: Universality between random graph models. Advances in Mathematics, 2004.

[6] Pu Gao and Nicholas Wormald. Uniform Generation of Random Regular Graphs, In Proceedings of FOCS, 2015.