問題：
橋を持つk-正則グラフを作れ。ただし作れないときはNOと答えよ。
解法：
明らかにk=2のときはグラフはCycleとなるのでNO.
一般に、kが偶数であるときはNOとなる。
(証明)
kが偶数のときにk-正則グラフに橋が存在すると仮定する。
すると、その橋を取り除くことによって二つのグラフに分解することが出来る。
しかし、それぞれのグラフについて、次数の和は奇数となってしまうので矛盾。
以上よりkが偶数の時はNOと答えれば良い。ではkが奇数の時はどのようにして構成出来るか？
kが奇数の時は
完全二部グラフK(k-1,k-1)を構成し、それぞれの頂点集合をA,Bとする。
Aの各頂点マッチングを結ぶ(k-1は偶数なので存在する)
頂点vを新たに一つ用意し、vとBの各頂点を結ぶ。
このように構成したグラフの次数について見ていくと、vの次数はk-1で、そのほかの次数はkとなる。
よってこのグラフを二つ用意しそれぞれのv同士を結べばその辺が橋になり、しかもグラフはk-正則となる。
ソースコード:
https://gist.github.com/knewknowl/4c17af4dde6f43e9bdc7
Håstadのスイッチング補題
回路計算量の理論における重要な結果の一つである Håstadのスイッチング補題 を紹介します. 簡潔にいうとこの補題は, 99%の変数をランダムに固定することによってDNFの決定木が小さくなることを主張する結果です. 応用としてparity関数に対する$\mathrm{AC}^0...
-
0. 概要 本記事では ランダムグラフ理論の動機と応用 ランダムグラフ理論のさわり ランダムグラフの面白い定理 について書きます. 1. ランダムグラフ理論の動機と応用 ランダムグラフ理論の主な動機としては 「とある性質Pを満たすグラフ... -
0. 概要 グラフマイナー定理とは 有限グラフの全体は, マイナー順序によってよい擬順序になっている (well-quasi-ordered) という定理です. ...さてこれは何を言ってるんでしょうか. 本記事では現代のグラフ理論において最も重要な定理の一つで... -
1. 全点対最短経路問題の計算量の外観 グラフ $G$ が与えられたときに 全点対最短経路 ( APSP : all pair shortest paths)を求めたいときがあります. そんなときはほとんどの人がワーシャル・フロイド法または各点ダイクストラなどを使うかと...